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杨振宁·量子学派·北京大学出书社·人类最美的24张数学画

发布日期:2021-09-21 00:40浏览次数:
本文摘要:引发现人文与数学之美数学枯燥吗?我们应该换个角度看这个问题。在某种水平上讲,数学与诗歌有相似性:简练、凝练、抽象…数学与人文,并非完全割离。在数学身上,我们发现与诗歌相似的“美”。以一首人文诗词为例——大漠孤烟直,长河夕阳圆。 这首诗描绘了雄阔、壮美的大漠图景。从几何学角度上看,“大漠”可视为平面,“孤烟”垂直于地面的直线(图1)。第二句将横卧长河视为一条直线,下沉夕阳被视为一个圆,“长河夕阳圆”即是一个圆切于一条直线(如图2)。两图对照,泾渭明白,简练明晰,刚柔相济。

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引发现人文与数学之美数学枯燥吗?我们应该换个角度看这个问题。在某种水平上讲,数学与诗歌有相似性:简练、凝练、抽象…数学与人文,并非完全割离。在数学身上,我们发现与诗歌相似的“美”。以一首人文诗词为例——大漠孤烟直,长河夕阳圆。

这首诗描绘了雄阔、壮美的大漠图景。从几何学角度上看,“大漠”可视为平面,“孤烟”垂直于地面的直线(图1)。第二句将横卧长河视为一条直线,下沉夕阳被视为一个圆,“长河夕阳圆”即是一个圆切于一条直线(如图2)。两图对照,泾渭明白,简练明晰,刚柔相济。

自然的景致都市在历史波涛中湮没,江渚上的鹤发渔樵都市成过眼烟云,只有抽象出来的美感才会永垂不朽!“大漠孤烟直,长河夕阳圆”正是几何学的高度凝练,人文与数学的美在这里相聚,才拥有了震撼千古的艺术魅力!许多人因为应试原因忽略了数学之美,这是一种遗憾。为了弥补这种遗憾,量子学派携手43位数理领域教授、专家出书《公式之美》,每一个公式都有一幅数学画,让更多人明白数理之美。

01 1+1=2 发现者 ?发现时间 ?公式图解插图的中心位置,古埃及人从尼罗河捕捉了三条鱼,第三条鱼的处置惩罚却成了最浩劫题。古埃及人如那边理第三条鱼已经无从考究,但祖先们在有了“数量”观点后意识到1+1=2,今后打开数学的大门。看似简朴却是数学最原始的种子,让人类具备了逾越其它种族的高维能力。在历史波涛翻腾的长河中,这颗数学的种子开始生根发芽……1+1=2,成为人类文明的基石之一。

02 毕达哥拉斯定理 Pythagorean theorem发现者 毕达哥拉斯、商高发现时间 约莫公元前500年公式图解插图中一只超现实的眼睛正在注视,在它下方的两个小正方形注满水后,它们相加的注水量与它们垂直双方所组成的直角三角形的大正方形的注水量相等,形象得出勾股定理的推导。在它之下面是“毕达哥拉斯树”,他证明对一切直角三角形来说,a²+b²=c²。插画右上角的位置是商周时期的甲骨文,商周时贵令郎商高也曾提出“勾三股四弦五”。

a²+b²=c²,是人类历史上第一次将“数”与“形”相联合。03 费马大定理 Fermat's last theorem发现者 费马发现时间 1637年公式图解插画中央是时间指针,转动着跨越358年的时间圆盘。

圆盘左侧是“业余数学家之王”费马,他提出的“费马大定理”开启了这个跨越358年的时间圆盘,留下了“对此我已经找到了一个绝妙的证明方法,我写不下,就不写了”的世纪名言。许多数学家在解密历程中没能解开“费马大定理”,却建立了许多新的数学理论,故“费马大定理”也被称为“会下金蛋的鹅”。圆盘右侧坐在破碎金蛋上的是怀尔斯,358年智力接力赛由他终结,但“金蛋传奇”仍在继续,椭圆曲线即是其一,它在非对称加密领域大放异彩,被密码学朋克们应用于比特币,使比特币成为数学上牢不行破的“数学黄金”。04 微积分 Calculus发现者 牛顿、莱布尼茨发现时间 1684年公式图解插图中,一只短腿乌龟奋力爬行,海神之子“阿喀琉斯”正计划追上它。

凭据“芝诺悖论”,阿喀琉斯永远都无法追上小乌龟。插图左侧抛出苹果的是牛顿,与之相对的则是抛出“二进制”的莱布尼茨。

在苹果与“二进制”之间,则是著名的微积分公式。牛顿与莱布尼茨都被数学界视为是微积分的发现者,两人曾因谁先发现微积分有过一场浩荡持久的争夺战,但在溘然长逝之后,两人又因牛顿-莱布尼茨公式牢牢绑在一起。

微积分的泛起,促成了厥后一场场科学和技术领域的革命。05 万有引力 Law of universal gravitation发现者 牛顿发现时间 1687年公式图解地球与一颗苹果牢牢地捆绑在一起,而将两者举行毗连的正是牛顿。牛顿推出万有引力定律,而引力一举成为四种作用力的基本力之一。

牛顿的万有引力定律一锤定音,他告诉人类,支配自然和宇宙的万物规则其实很简朴。在19世纪末,万有引力定律袒露出了它的局限性,有着无法触及的昏暗地带。

但万有引力如同画面中从苹果树到天空逐渐延伸的裂口,它劈开了愚昧混沌的黑暗,将灼烁带给人类。牛顿如同盗来火种的普罗米修斯,他赋予人类星火,将由人类燎原。06 欧拉公式 Euler's formula发现者 欧拉发现时间 1748年公式图解欧拉穿过哥尼斯堡七桥,这七座别致的桥横跨普雷格尔河将四个区域毗连起来,在所有人都实验着不重复走遍七桥回到出发点失败时,右眼刚失明的欧拉将其巧化成几何问题,证明门路基础不存在,由此开创了数学的新分支——图论与几何拓扑。欧拉公式即是其中一个体现,e^πi+1=0很是完美。

有着“上帝公式”之称的欧拉公式提出后有着深远的影响,不仅如此,欧拉一生孜孜不倦,他所留下的科学遗产仿若闪烁群星,纵然欧拉长眠,但群星永不熄灭。07 伽罗瓦理论 Galois theory发现者 伽罗瓦发现时间 1832年公式图解右侧男子开枪射击,子弹穿过五次方程,左侧男子应声倒下。上方则是一名陷入挣扎的女子,显然两者正为之争夺。倒下的男子是仅有21岁的伽罗瓦,死于与一段热恋相关的决战中。

在这场自知必死的决战前夜,伽罗瓦奋笔疾书为世人留下了三十二页纸的论文。在1843年时,他留下的结果被肯定并宣布于众,至此五次方程的神秘面纱也被揭开。

伽罗瓦理论所引入的“群”“域”等观点,乐成的推开了现代群论这座辉煌宫殿的大门,拉开了现代数学的帷幕。08 黎曼料想 Riemann hypothesis发现者 黎曼发现时间 1859年公式图解黎曼踏上通往繁复奇妙的数学大厦门路,他来自更高维的世界,手拿一把钥匙,走向神秘之门。这座数学大厦是由以黎曼提出的黎曼料想为基础的一千多余数学命题所建设,黎曼手握着的精致钥匙,可以轻易打开这扇神秘大门。

但这座建设在黎曼料想上的大厦并不是牢不行破,如果黎曼料想被证实,大厦将永恒存在,反之,大厦将在一瞬间坍塌扑灭。09 熵增定律 Second law of thermodynamics发现者 克劳修斯发现时间 1854年公式图解插图里充满着死亡、颓废的气息,挥散不去。这也是“熵增定律”所想表达:熵增,永不行逆。

图中膨胀死尸环绕着的,恰恰是我们所处的宇宙。灯亮的那一刻,宇宙大爆炸泛起。从大爆炸的那一刻起,宇宙就成了一个无人扫除的陈年迈屋,日积月累后灰尘满地,这就是熵增。熵增定律让人类绝望。

我们以为自己已经逐渐成为上帝,但面临熵增,却依旧像一个光脚的孩子,手足无措,面临宇宙最终走向寂灭,基础无能为力。宇宙终将走向死亡,这是它的一定宿命。

10 麦克斯韦方程组 Maxwell's equations发现者 麦克斯韦发现时间 1865年公式图解一个电磁场出现在人眼前,但更像是一束源源不停照射进宇宙的光。关于电与磁的关系,前人踏过无数荆棘,才使得门路稍显平坦。库伦、奥斯特、安培、法拉第…没能找到一种完美统一的形貌。

最终麦克斯韦神奇地完成这一壮举——用他特有的数学语言,总结前辈们的各大定律,建设了电磁学微分方程组,将电场与磁场完美地融合在一起,统一了整个电磁场。自此之后,宇宙间的任何电磁现象,皆可由此方程组解释。上帝说要有光,便有了麦克斯韦方程组。

11 质能方程 mass-energy equivalence发现者 爱因斯坦发现时间 1905年公式图解清晰可见两朵腾空而上的蘑菇云,那是二战美国投放在日本长崎和广岛的两颗原子弹。爆炸之后,尽是废墟。插图左下侧是一座被摧毁后的都会,破裂、残缺,无人幸存。

当蘑菇云腾空之后,死神悄悄地注视一切,在她眼中,一切都如此平常、平静。在爱因斯坦提出质能方程前,人们认为质与能是两条互不滋扰的平行线。但当爱因斯坦写下质能方程后,能量与质量才合为一个整体——质能。

其看似简练,却能够形貌一个小到原子,大到整个宇宙的世界。一粒灰尘,也蕴含着人类无法想象的庞大能量。

这是公式,人类打开了潘多拉的魔盒。12 薛定谔方程 Schrödinger equation发现者 薛定谔发现时间 1926年公式图解右侧是我们所处的宏观世界,左侧的氢原子模型是微观世界。

“薛定谔的猫”将两者相连,此猫正从宏观世界走向微观世界。薛定谔建立了波函数理论,但此方程却成了哥本哈根学派的武器,直指爱因斯坦。为论证量子力学的谬妄,薛定谔提出“薛定谔的猫”思想实验,成为20世纪物理学的最大争议。

这只不属于薛定谔的猫,行走于生死之间,穿梭于平行世界,它的行踪轨迹神秘,不行捉摸。13 狄拉克方程 Dirac equation发现者 狄拉克发现时间 1928年公式图解左侧是一座巴别塔,处在灼烁之中,即我们所在的物质世界。右侧一片黑暗,犹如一片黑海涟漪,意指深不行测的反物质世界。黑暗世界反物质的泛起,使得物质世界的巴别塔摇摇欲坠。

而中间毗连的是一条将两个世界分散开来的通天之路,这条路也许就能进入到反物质世界中,甚至找到进入暗物质世界的入口。狄拉克方程统一了狭义相对论和量子力学,并得出一个重大结论:电子可以有负能值,开发出“新大陆”——游荡在宇宙中的“反物质”。反物质与物质似双胞胎,却又水火不容,两者一旦相遇即湮灭。

它们如同这幅画的左右双方,一边灼烁,一边黑暗,但谁也不知道,黑暗一边的反物质世界背后,究竟隐藏着什么。14 杨-米尔斯规范场论 Yang-Mills theory发现者 杨振宁、米尔斯发现时间 1954年公式图解在杨-米尔斯方程的构图中,位处中间的“神”,正将“四力”合拢起来。左侧“万有引力”,右侧“电荷力”,上方“强核力”,下方“弱核力”。

爱因斯坦曾经希望能借助一个公式将宇宙“大一统”,但直到生命最后一刻都没能实现。这个重担,落到了规范场论身上。杨-米尔斯方程站上前人肩膀,后人推导修正,成为规范场论的中流砥柱。随着希格斯粒子被发现,规范场论统一了自然界三种力,朝着大一统理论迫近。

一旦人类实现“四力统一”,可能真正成神——任意地组合与改变粒子,制造出前所未有的物质形态,左右空间维度数,最终成为宇宙的主宰。15 香农公式 Shannon theory发现者 香农发现时间 1948年公式图解香农如同杂技成员,骑着独轮车,熟练抛接四个球,在“彭罗斯门路”上杂耍。

他从“狼烟狼烟”城堡出发,逐步迈向“网络通信”。香农公式,不仅带人类从工业时代进入信息时代,也让人类在远距离传输信息通信门路上越走越快。香农写下香农公式后,给人们留下了一个极限,今后人们便在其中竞相追逐,1G、2G、3G、4G、5G…通信方式的变换,让人们的生活也瞬息万变。

这也是为什么在构图中将香农置放在“彭罗斯门路”上演出的原因——在香农公式中追逐极限,永远都不会有止境可言。16 B-S方程 Black-Scholes equation发现者 布莱克、斯科尔斯发现时间 20世纪70年月公式图解在B-S方程的构图中,中间是摇摇欲坠的金融大厦。B-S方程原本是华尔街的中流砥柱,但大厦将倾,却无人能扶。

B-S方程曾经被称为是最“贵”的方程,价值高达一万亿。但“人性”作祟,这个公式并非完美,2008年的金融危机则成为压垮大厦的最后一根稻草。由此,“牛头”倒在摇摇欲坠的金融大厦之下,牛市已然消失,人们唯一能做的,只有踏上那条曾经带来无数财富的B-S方程,然后义无反顾地往下跳去。B-S方程自己没有问题,而是总有人滥用它。

数学可以盘算经济运行的轨迹,却没措施盘算人性的疯狂。17 弹道方程 Trajectory equation发现者 英构司发现时间 1881年公式图解中心部门如同黑洞般的枪口直指人心,左侧青年持枪射击,但可能正是因为将枪口抬高3CM,子弹从右侧的少女旁擦肩而过。曾经守卫柏林墙的卫兵射击,导致跨越柏林墙的青年死亡。

图中的青年将枪口抬高了3CM,便为右侧少女挽回一条生命。这是弹道方程的魅力。你必须执行下令开枪,但你应该拥有将枪口抬高3CM的知己。

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18 胡克定律 Hooke's law发现者 胡克发现时间 1678年公式图解卓别林在《漂亮时代》拧着庞大齿轮上的螺帽,每小我私家都是螺丝钉。透过齿轮间隙可以看到熟悉的表盘数字,这是机械表的象征。插图后方则是喷着浓烟的厂房和烟囱,象征着第一次工业革命滔滔袭来。机械表的生长历程是工业革命的缩影,机械表的细密背后,离不开齿轮和摆轮游丝之间的精妙配合,而游丝里的时间秘密离不开胡克定律。

19 混沌理论 Chaos theory发现者 洛伦茨发现时间 1963年公式图解一只蝴蝶正跪坐在鲸鱼上,从太平洋西岸游向东岸。这只漂亮蝴蝶扇动翅膀,右侧亚马逊大叶植物形成了一道道飓风。正如中国昔人所言:失之毫厘,谬以千里。混沌,才是世界的本质。

蝴蝶效应只是一种典型的混沌系统。我们的世界是混沌而无序的,就如同我们难以用准确的几何图形形貌云朵、山峦、海岸线的形状,我们无法找到一种形貌不规则世界的规则。20 凯利公式 The Kelly Criterion发现者 凯利发现时间 1956年公式图解插画的正中央是熟悉的扑克牌,牌中人物被替换成凯利。扑克牌后是赌盘和骰子,骰子的一面钻出来一个双手抓着钱,双目无神的人,另一面则画着一个骷髅头。

意思很显着——赌钱,依靠运气,将陷入深渊。在扑克上置放着一条财富公式——凯利公式,这个公式价值万亿。赌钱,不是运气游戏,而是数学问题。

但赌徒永远学不到这一点,依旧会一头扎进赌场之中。凯利公式告诉我们,只要进了赌场,你就是一个赌鬼。

而赢告捷利的唯一规则,只有一个——不赌。21 贝叶斯定理 Bayes' theorem发现者 贝叶斯发现时间 18世纪公式图解未来世界,是由电子芯片和线路搭建成的赛博朋克气势派头都会。一小我私家工智能机械人正站在一面镜子前,一只手按在镜子上,对着镜中的自己发生了疑问:“我是谁?”人工智能的生长离不开贝叶斯定理的支撑。只管贝叶斯定理在最初时不被认可,但历经两百余年生长,险些成为AI世界的铁律。

我们可能要问一下自己一个问题:如果贝叶斯公式与A.I.真正联合,它是否会盘算出自己是人还是机械,从而得出“我是谁”的谜底?22 三体问题 The Three-body Problem发现者 希尔伯特发现时间 1900年公式图解身披大红长袍的牛顿踩在宇宙之中,三个球体在他身边围绕运转。在虚空中,有种种已知的、未知的力以及其他因素的滋扰,想要盘算出这三个球体的运动方程的难度可想而知。牛顿曾经以数学方式严格地解决了二体问题,但面临“三体”,即即是成为真正的巫师和炼金师,也恐怕是心有余而力不足。我们也许可以思考,摧毁三体的光粒文明,之所以能击中三体的一颗恒星,是因为他们剖析出了三体运动吗?23 哥德尔不完备定理 Godel's Incompleteness Theorem发现者 哥德尔发现时间 1931年公式图解一名剃头师正准备给人剃头,可这名剃头师却声称,自己只为本城所有不给自己剃头的人剃头。

那他是否要为自己剃头呢?插画之外,一名男子对着画作中正在剃头的剃头师举起了刀,但实际上我们无法分辨出持刀男子是在画中还是画外,即男子的存在性在这个系统中无法证明为真,也不能被证明为伪。这即是哥德尔不完备定理:纵然是世间不证自明的正义,也是不完备的。哥德尔不完备定理开发了一条新的门路:面临一个不完备系统时,请跳出所在的系统;面临某个正义体系内无法判断的一个命题时,请寻找新的数学工具或科学实验加以判断。24 椭圆曲线方程 Elliptic curve equation发现者 怀尔斯发现时间 1995年公式图解一艘幽灵船航行于大海中。

船长中本聪屹立于船头,但不久后也会隐去。幽灵船将以比特币、以太坊、Libra为首的虚拟钱币体系为动力,自动在大海中航行。

船只身后的传统金融世界已然着火,只有新的数字钱币体系才气存活。幽灵船的四周,漂浮着无数个“窥视之眼”,企图窥探加密数字钱币的秘密。椭圆曲线方程在比特币中饰演着关键角色,它是比特币的基石。

没有椭圆曲线方程,就没有比特币的宁静性。比特币也正是因为依靠椭圆曲线方程,才在NSA的后门阴谋中得以逃过一劫。结杨振宁:“公式之美”凝练如诗1988年,杨振宁接受Bill Moyers采访时谈到:诗歌是思想的凝练,公式是凝练的诗篇!物理学公式的简练准确与诗歌有相似之处,短短几行诗,就能写出很是庞大的思想。

以牛顿、麦克斯韦、爱因斯坦为代表的物理学家,将物质结构和宏观宇宙用几个公式表现,将繁琐无比的庞大现象转化为几个方程,简朴准确明晰,具有极致的美感。每一公式都是一副画,每个公式也是一首诗。英国大诗人W.Blake对于科学之美写过一首诗:一粒砂里有一个世界,一朵花里有一个天堂。把无穷无尽握于手掌,永恒宁非是刹那时光。

(以上是翻译的中文)苏东坡在《赤壁赋》中也写到:盖将自其变者而观之,天地曾不能以一瞬;自其稳定者而观之,物与我皆无尽。虽然东坡先生没有学过物理,但那些伟大的灵魂总有一致性。

这首诗透露着物理学意义:运动是绝对的,静止是相对的;物质世界是绝对运动和相对静止的统一。人文与数学在画面中相聚,“公式之美”携手两者前行。

这才是最高维度的审美!。


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